quinta-feira, 15 de dezembro de 2011
ENCERRAMENTO NA ESCOLA
Neste dia foram encerradas as atividades do ano letivo de 2011 e consequente confraternização entre professores e funcionários da instituição de ensino, através de revelação de amigo secreto e posteriormente almoço festivo.
quarta-feira, 14 de dezembro de 2011
quinta-feira, 8 de dezembro de 2011
MONITORIA E REFORÇO
Monitoria na turma 63 e reforço com a turma 71.
As atividades de reforço foram as mesmas utilizadas com a turma 72 no turno da manhã.
As atividades de reforço foram as mesmas utilizadas com a turma 72 no turno da manhã.
quarta-feira, 7 de dezembro de 2011
O MEU OLHAR SOBRE
MONITORIAS
Com início no mês de março, as monitorias ocorreram durante as aulas com a presença do professor titular, onde há grande envolvimento com toda a turma, tendo como foco os alunos com maiorias dificuldades de aprendizado. Nesta atividade conseguiu-se uma maior aproximação dos alunos ganhando sua confiança. As turmas monitoradas foram a 71 (7ª série) e 63 (6ª série), ambas muito agitadas, o que tornava o trabalho do professor mais difícil.
REFORÇO
Após a identificação dos alunos com dificuldades de aprendizado, déficit de atenção e pouco rendimento escolar, convocamo-os para aulas de reforço em turno oposto. Foram nestes encontros que podemos avaliar qual era e onde estava a dificuldade do aluno, podendo assim, instigá-los para avançar no seu processo de construção da aprendizagem. O que seria impossível numa sala de aula normal, pois a quantidade de alunos é muito maior e não conseguimos o mesmo resultado quando comparado aos poucos alunos atendidos no reforço.
OFICINAS
As oficinas envolveram atividades lúdicas, mas, com objetivo de construir conceitos, valores e virtudes. As oficinas de origami e construção de figuras geométricas ajudaram a desenvolver a motricidade e a paciência.
Os jogos não são apenas um passatempo e sim uma forma de aprimorar o pensamento lógico, raciocínio e cálculo mental, além da construção de estratégias.
O laboratório de informática, apesar de poucas horas disponíveis, mostrou-se como uma importante ferramenta nas metodologias diversificadas empregadas na matemática.
quinta-feira, 1 de dezembro de 2011
MONITORIA E REFORÇO
Monitoria na turma 63 e reforço com a turma 71.
As atividades de reforços da 71 foram as mesma utilizadas com a turma 72 no turno da manhã.
As atividades de reforços da 71 foram as mesma utilizadas com a turma 72 no turno da manhã.
quinta-feira, 24 de novembro de 2011
quarta-feira, 16 de novembro de 2011
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com a turma 71 e monitoria na turma 63.
Turma 71 - no reforço foi utilizado o mesmo material da turma 72.
Turma 71 - no reforço foi utilizado o mesmo material da turma 72.
quarta-feira, 9 de novembro de 2011
PROJETO: Organizando minhas finanças
PROJETOS
Aproveitando o conteúdo dos números inteiros usei a ideia do “tenho e devo” para números positivos e negativos e elaborei um projeto experimental para colocar em prática com alguns alunos.
*ORGANIZANDO MINHAS FINANÇAS
Objetivo: Clarificar o valor monetário do dinheiro e sua importância em nosso cotidiano, reafirmando os conceitos de números negativos e positivos.
Justificativa: Por ser uma comunidade com baixíssimo nível sócio econômico e por conviverem com muita criminalidade, como por exemplo: roubos, assaltos, drogas etc; os alunos se vislumbram facilmente com o “ter” e geralmente se voltam para o caminho mais fácil de ganhar dinheiro. Sendo dessa forma, é importante mostrar que não importa o quanto se tenha de dinheiro, uma vez que nunca será o suficiente para sanar nossas vontades. Precisamos sim, um objetivo de vida claro e saber valorizar o que se tem, fazendo boas escolhas. Uma dessas escolhas é saber gerenciar nossas finanças, que é uma forma prática e cotidiana de aplicar os conceitos matemáticos.
Metodologia: Cada aluno receberia semanalmente uma mensalidade fictícia e com este valor administraria suas finanças, sanando suas necessidades como por exemplo: ir ao super para comprar comida, produtos de higiene pessoal, gastos com farmácia (analgésico etc.), uma peça de roupa (ou calçado), material escolar, passagens de ônibus, aluguel, luz, água e gás (referente a uma semana). Em cada encontro semanal os alunos apresentariam um relatório de como usaram suas mesadas e receberiam orientações para a próxima semana (como: quanto receberiam e o que precisariam comprar e pagar obrigatoriamente). Um determinado valor sobraria a cada semana e ao completar um mês me explicariam o que decidiram fazer com aquele dinheiro que sobrou e por quê.
Avaliação: A avaliação consiste em observar como cada aluno manipula o dinheiro durante as situações problemas apresentadas a eles, associando os conceitos matemáticos com seu cotidiano. E assim identificar pontos onde podemos melhorar e diversificar a forma e metodologia de ensino para alcançar melhores resultados.
Resultados: Pude notar que inicialmente os alunos gastavam suas mesadas com coisas sem grande necessidade e deixavam de pagar ou comprar itens básicos (comida, luz, aluguel). Mas, ao final, além do aprendizado do conteúdo matemático (números inteiros), pude reconhecer um maior senso de responsabilidade e aumento da auto estima.
Dinheiro de brinquedo foi
usado nas mesadas
Exemplo de alguma contas a serem pagas
"Eu antes achava que não podia acompanhar os meus colegas e tinha uma visão diferente do mundo e principalmente das aulas de matemática. Mas agora eu sei que posso ser e fazer algo melhor. Eu sei que tenho condições."
Aluno T.
Aluno T.
quarta-feira, 26 de outubro de 2011
REFORÇO E PROJETO
Reforço com as turmas 63 e 72 e projeto Matemática em Toda a Parte.
Continuação das atividades da semana anterior, dia 19/10.
Continuação das atividades da semana anterior, dia 19/10.
quarta-feira, 19 de outubro de 2011
REFORÇO E PROJETO
Reforço com as turmas 63 e 72, após apresentação do projeto Matemática em Toda Parte.
Turma 63
Atividades foram lidas, explicadas e dado início à resolução.
quarta-feira, 28 de setembro de 2011
REFORÇO E MONITORIA
No turno da tarde, a turma 71 teve reforço e após monitoria na turma 63.
OBS: Material utilizado foi o mesmo do reforço com a turma 72.
OBS: Material utilizado foi o mesmo do reforço com a turma 72.
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com a turma 72 e monitoria com a turma 71, no turno da manhã.
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:
Multiplicação de monômio com polinômio.
Multiplicação de número natural com polinômio.
Multiplicação de polinômio com polinômio.
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m
• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.
Multiplicação de monômio com polinômio
• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)
15x3 + 9x2 – 3x
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x
• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)
- 10x3 + 2x2
Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2
Multiplicação de número natural
• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5
6x2 + 3x + 15.
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.
Multiplicação de polinômio com polinômio
• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2
15x3 + 6x – 5x2 – 2
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2
• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2
10x3+ x2 + 3x – 2
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão:
P(x) |G(x)
R(x) D(x)
Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto.
OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.
A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.
Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).
Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:
• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.
Feita as verificações podemos iniciar a divisão.
O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).
6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5
• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
6x4 : 2x2 = 3x2
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).
(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).
• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
2x3 : 2x2 = x
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.
• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
-2x2 : 2x2 = -1
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.
Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/divisao-polinomio-por-polinomio.htm
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:
Multiplicação de monômio com polinômio.
Multiplicação de número natural com polinômio.
Multiplicação de polinômio com polinômio.
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m
• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.
Multiplicação de monômio com polinômio
• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)
15x3 + 9x2 – 3x
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x
• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)
- 10x3 + 2x2
Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2
Multiplicação de número natural
• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5
6x2 + 3x + 15.
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.
Multiplicação de polinômio com polinômio
• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2
15x3 + 6x – 5x2 – 2
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2
• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2
10x3+ x2 + 3x – 2
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão:
P(x) |G(x)
R(x) D(x)
Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto.
OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.
A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.
Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).
Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:
• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.
Feita as verificações podemos iniciar a divisão.
O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).
6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5
• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
6x4 : 2x2 = 3x2
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).
(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).
• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
2x3 : 2x2 = x
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.
• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
-2x2 : 2x2 = -1
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.
Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/divisao-polinomio-por-polinomio.htm
quarta-feira, 21 de setembro de 2011
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com a turma 71 e monitoria na turma 63.
Polinômio não tem uma definição específica, podemos encontrar várias definições diferentes como:
- Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos.
- Polinômio é um ou mais monômios separados por operações.
Existem polinômios de apenas um termo que são chamados de monômios, há outros que possuem dois ou mais termos, são os binômios, trinômios ou generalizados polinômios.
Veja alguns exemplos de polinômios:
► -5xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios).
► -5x + 3 é um polinômio e uma expressão algébrica.
Os polinômios são chamados conforme o seu grau. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio.
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
Exemplo 3
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
Exemplo 4
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-polinomio.htm
OFICINA E MONITORIA
Oficina e monitoria na turma 71.
Desafio 1: Desloque dois palitos e forme seis triângulos:
Desafio 2: Desloque quatro palitos e forme três triângulos equiláteros::
Desafio 3: Retirando apenas seis palitos de fósforo da figura abaixo, sem mexer nos palitos restantes, forme apenas tês quadrados:
Desafio 1: Desloque dois palitos e forme seis triângulos:
Desafio 2: Desloque quatro palitos e forme três triângulos equiláteros::
Desafio 3: Retirando apenas seis palitos de fósforo da figura abaixo, sem mexer nos palitos restantes, forme apenas tês quadrados:
quarta-feira, 14 de setembro de 2011
OFICINA E MONITORIA
Oficina com a turma 71 e monitoria na turma 63
Desafio 1: Desloque dois palitos e forme seis triangulos:
Desafio 2: Desloque quatro palitos para formar três triangulos equiláteros:
Desafio 3: Retirando apenas seis palitos da figura abaixo, sem mexer nos palitos restantes, forme apenas três quadrados:
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com as turmas 72 e 63 e monitoria na turma 71 no turno da manhã.
Turma 72
Polinômio não tem uma definição específica, podemos encontrar várias definições diferentes como:
- Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos.
- Polinômio é um ou mais monômios separados por operações.
Existem polinômios de apenas um termo que são chamados de monômios, há outros que possuem dois ou mais termos, são os binômios, trinômios ou generalizados polinômios.
Veja alguns exemplos de polinômios:
► -5xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios).
► -5x + 3 é um polinômio e uma expressão algébrica.
Os polinômios são chamados conforme o seu grau. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio.
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.
- Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos.
- Polinômio é um ou mais monômios separados por operações.
Existem polinômios de apenas um termo que são chamados de monômios, há outros que possuem dois ou mais termos, são os binômios, trinômios ou generalizados polinômios.
Veja alguns exemplos de polinômios:
► -5xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios).
► -5x + 3 é um polinômio e uma expressão algébrica.
Os polinômios são chamados conforme o seu grau. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio.
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
Exemplo 3
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
Exemplo 4
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-polinomio.htm
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
Exemplo 3
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
Exemplo 4
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-polinomio.htm
Turma 63
Breve explicação seguido de resolução de exercícios.
Breve explicação seguido de resolução de exercícios.
quarta-feira, 24 de agosto de 2011
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com a turma 71 e monitoria na turma 63.
►Multiplicação de monômios
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes).
(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + n.
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3
-15 a2 +1 b1 + 3
-15 a3b4
►Divisão de monômios
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz:
am : an = am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a ≠ 0.
(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an = am – n.
-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3
5 x2 – 1 y3 – 3
5x1y0
5x
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/multiplicacao-divisao-potenciacao-monomios.htm
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes).
(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + n.
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3
-15 a2 +1 b1 + 3
-15 a3b4
►Divisão de monômios
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz:
am : an = am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a ≠ 0.
(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an = am – n.
-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3
5 x2 – 1 y3 – 3
5x1y0
5x
quinta-feira, 18 de agosto de 2011
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com a turma 63 e monitoria na turma 71.
Neste reforço trabalhamos o Jogo dos Produtos, retirado do livro a conquista da Matemática, 7ºano, de José R. Giovanni Jr. e Benedicto Castrucci.
quarta-feira, 10 de agosto de 2011
REFORÇO E MONITORIA
Reforço com a turma 71 e monitoria na turma 63.
Adição e subtração de monômios
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.
Veja:
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.
• 5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
25 xy2
• 5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
- 15 xy2
Veja alguns exemplos:
• x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9.
6 9
3x2 - 4 x2 + 18 x2
18
17x2
18
• 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes.
12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração.
5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.
• Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão.
4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes.
4x2 + 2x2 – 5x - 3x
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:
6x2 - 8x
6 . (-2)2 – 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-monomios.htm
Adição e subtração de monômios
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.
Veja:
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.
• 5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
25 xy2
• 5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
- 15 xy2
Veja alguns exemplos:
• x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9.
6 9
3x2 - 4 x2 + 18 x2
18
17x2
18
• 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes.
12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração.
5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.
• Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão.
4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes.
4x2 + 2x2 – 5x - 3x
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:
6x2 - 8x
6 . (-2)2 – 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40
Material retirado do site http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-monomios.htm
CONSTRUÇÃO DE UM JOGO
Jogo: Números na testa
Objetivo: Estimular a interação entre os alunos através de um jogo, buscando com isso o desenvolvimento do espírito competitivo e consequentemente a memorização da tabuada de uma forma divertida.
Regras: Dois alunos sentam frente a frente numa mesa, o juiz (professor ou colega) junto a eles. Determina-se a operação fundamental a ser usada (adição, subtração, multiplicação ou divisão) e o tempo de duração do jogo. Par ou ímpar decide quem sai jogando.
O aluno que começar a jogar deve pegar uma cartela (as cartelas estarão dispostas na mesa com os números para baixo) da mesa sem virá-la e segurá-la na sua testa com o número voltado para o colega, o seguinte jogador repete o passo. Assim que os números estiverem visíveis aos adversários, o juiz diz em voz alta e coloca na mesa outra cartela com o resultado. Aquele que acertar o número correspondente à resposta correta ganha um ponto. Vence o jogo o competidor que acumular mais pontos no tempo estipulado.
Obs: Este jogo pode ser aplicado a partir do 4º ano do Ensino Fundamental até o Ensino Médio, para tanto basta ir aumentando o grau de dificuldade, inclusive com outras operações.
Material: Papelão, cartolina, folha de desenho ou Eva, canetinha ou pincel atômico, tesoura, régua, cola. Papel e caneta para anotação dos pontos.
“Foi bom aprender que eu posso construir um jogo.”
Aluno a
“Eu me diverti muito com este jogo.”
Aluno b
“Eu não gostava da tabuada ou de fazer contas, mas agora sinto interesse em saber para poder jogar melhor.”
Aluno c
“A professora me ajudou a construir o jogo e pedi se podia ficar com ele, agora lá em casa todos brincam e aprendem. Ajudou a aproximar uns dos outros.”
Aluno d
quinta-feira, 21 de julho de 2011
MONITORIA E REFORÇO
Monitoria com a turma 63 e reforço com a turma 71.
Sabemos que na multiplicação de potências de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes. Se você observar, verá que além da multiplicação dos coeficientes numéricos, foi exatamente isto o que fizemos no produto acima.
A variável a tem expoente 1 no primeiro termo algébrico e não ocorre no segundo termo. Portanto mantém-se com o expoente igual a 1.
A incógnita b tem os expoentes 2 e 1 no primeiro e segundo termo respectivamente, totalizando 3 no expoente.
Já a variável c tem os expoentes 1 e 3, que somados totalizam um expoente igual a 4.
Então como regra geral para multiplicarmos monômios é multiplicarmos os coeficientes e para cada variável somarmos os seus expoentes.
Vejamos outros exemplos:
Observe este exemplo:
O exemplo é autoexplicativo, mas para que não fique qualquer dúvida, vamos comentá-lo.
O coeficiente numérico foi obtido pela divisão dos dois coeficientes originais.
A variável x possui respectivamente os expoentes 7 e 3, então subtraindo o segundo do primeiro obtemos o expoente 4.
Por fim a incógnita y que tem expoente 4 no primeiro monômio e 2 no segundo, fica com o expoente 2, resultante de 4 - 2.
Veja mais estes outros exemplos:
Repare que no último exemplo a variável y terminou com um expoente negativo. Conforme estudado no tópico sobre potenciação, podemos escrever esta expressão na forma de uma fração:
Material retirado do site http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
Multiplicação de Monômios
A multiplicação de monômios é realizada simplesmente se multiplicando os coeficientes numéricos entre si, assim como a parte literal.
Veja o seguinte exemplo:Sabemos que na multiplicação de potências de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes. Se você observar, verá que além da multiplicação dos coeficientes numéricos, foi exatamente isto o que fizemos no produto acima.
A variável a tem expoente 1 no primeiro termo algébrico e não ocorre no segundo termo. Portanto mantém-se com o expoente igual a 1.
A incógnita b tem os expoentes 2 e 1 no primeiro e segundo termo respectivamente, totalizando 3 no expoente.
Já a variável c tem os expoentes 1 e 3, que somados totalizam um expoente igual a 4.
Então como regra geral para multiplicarmos monômios é multiplicarmos os coeficientes e para cada variável somarmos os seus expoentes.
Vejamos outros exemplos:
Divisão de Monômios
Agora vamos tratar a operação inversa da multiplicação, a divisão de monômios.
Os procedimentos serão semelhantes ao do caso anterior, iremos dividir os coeficientes numéricos e subtrair os expoentes das incógnitas da parte literal.Observe este exemplo:
O exemplo é autoexplicativo, mas para que não fique qualquer dúvida, vamos comentá-lo.
O coeficiente numérico foi obtido pela divisão dos dois coeficientes originais.
A variável x possui respectivamente os expoentes 7 e 3, então subtraindo o segundo do primeiro obtemos o expoente 4.
Por fim a incógnita y que tem expoente 4 no primeiro monômio e 2 no segundo, fica com o expoente 2, resultante de 4 - 2.
Veja mais estes outros exemplos:
Repare que no último exemplo a variável y terminou com um expoente negativo. Conforme estudado no tópico sobre potenciação, podemos escrever esta expressão na forma de uma fração:
Material retirado do site http://www.matematicadidatica.com.br/Monomios.aspx
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